Qu'est-ce que produit de cauchy ?

Le produit de Cauchy est une opération mathématique utilisée pour multiplier deux séries de termes numériques. Le produit de Cauchy consiste à multiplier chaque terme de la première série avec tous les termes de la deuxième série, puis à sommer tous les produits obtenus.

Si on a deux séries de termes numériques a0, a1, a2, ... et b0, b1, b2, ..., alors le produit de Cauchy des deux séries est une nouvelle série c0, c1, c2, ... dans laquelle :

c0 = a0 x b0 c1 = a0 x b1 + a1 x b0 c2 = a0 x b2 + a1 x b1 + a2 x b0 ...

Le produit de Cauchy est souvent utilisé en théorie des nombres pour calculer les coefficients du produit de deux polynômes, en théorie des probabilités pour calculer le produit de deux fonctions génératrices, ou en analyse pour calculer des sommes infinies.

Il est important de noter que le produit de Cauchy ne peut être effectué que si les deux séries sont convergentes.